Exercice 14, § 2

On suppose que $K$ est un corps. Soit $X$ un ensemble, et soient $x, y$ deux éléments de $L(X)$ linéairement indépendants sur $K$. Montrer que la famille $(x, y)$ est libre dans l’algèbre de Lie $L(X)$. (Soit $x_p$ (resp. $y_q$) la composante homogène non nulle de plus haut degré de $x$ (resp. de $y$). Quitte à ajouter à $x$ un multiple de $y$, on peut supposer que $x_p$ et $y_q$ sont linéairement indépendants. La sous-algèbre de $L(X)$ engendrée par $x_p$ et $y_q$ est graduée, donc libre, cf. exerc. 13. En déduire que $(x_p, y_q)$ est une famille libre et passer de là à $(x, y)$.)