Bài tập 14, § 2

Giả sử rằng $K$ là một trường. Cho $X$ là một tập hợp, và cho $x, y$ là hai phần tử của $L(X)$ độc lập tuyến tính trên $K$. Chứng minh rằng họ $(x, y)$ là tự do trong đại số Lie $L(X)$. (Cho $x_p$ (tương ứng $y_q$) là thành phần thuần nhất khác không có bậc cao nhất của $x$ (tương ứng của $y$). Bằng cách thêm vào $x$ một bội của $y$, ta có thể giả sử rằng $x_p$ và $y_q$ độc lập tuyến tính. Đại số con của $L(X)$ sinh bởi $x_p$ và $y_q$ là phân bậc, do đó là tự do, xem Bài tập 13. Suy ra rằng $(x_p, y_q)$ là một họ tự do và từ đó chuyển sang $(x, y)$.)