Exercice 15, § 2

Soit $X = \{x, y\}$ un ensemble à deux éléments, et soit $\sigma$ un automorphisme de l’algèbre de Lie $L(X)$. Montrer que, si $K$ est un corps, $\sigma$ respecte la graduation de $L(X)$ (appliquer l’exerc. 14 aux composantes homogènes non nulles de plus haut degré de $\sigma(x)$ et $\sigma(y)$); en déduire un isomorphisme de $\mathrm{Aut}(L(X))$ sur $\mathbf{GL}(2, K)$. Etendre ces résultats au cas où l’anneau $K$ n’a pas d’élément nilpotent $\neq 0$. Lorsque $K$ contient un élément $\varepsilon \neq 0$ de carré nul, montrer que $x \mapsto x, y \mapsto y + \varepsilon[x, y]$ se prolonge en un automorphisme de $L(X)$ ne respectant pas la graduation de $L(X)$.