Bài tập 15, § 2

Cho $X = \{x, y\}$ là một tập hợp gồm hai phần tử, và cho $\sigma$ là một tự đẳng cấu của đại số Lie $L(X)$. Bây giờ chứng minh rằng, nếu $K$ là một trường, $\sigma$ tôn trọng phân bậc của $L(X)$ (áp dụng Bài tập 14 cho các thành phần thuần nhất khác không có bậc cao nhất của $\sigma(x)$ và $\sigma(y)$); suy ra một đẳng cấu của $\mathrm{Aut}(L(X))$ lên $\mathbf{GL}(2, K)$. Mở rộng các kết quả này đến trường hợp vành $K$ không có phần tử lũy linh $\neq 0$. Khi $K$ chứa một phần tử $\varepsilon \neq 0$ có bình phương bằng không, chứng minh rằng $x \mapsto x, y \mapsto y + \varepsilon[x, y]$ mở rộng thành một tự đẳng cấu của $L(X)$ không tôn trọng phân bậc của $L(X)$.