Exercice 3, § 3

Soit $x \in X$. Montrer que le commutant de $x$ dans $A(X)$ est la sous-algèbre engendrée par $x$. En déduire que les seuls éléments de $L(X)$ qui commutent à $x$ sont les multiples de $x$. En particulier, le centre de $L(X)$ est réduit à 0 si $\mathrm{Card}(X) \geqslant 2$, et le centre de $L(X)/\left( \sum_{n > p} L^n(X) \right)$ est réduit à l’image canonique de $L^p(X)$.