Exercice 1, § 4

Soit $(G_n)$ une filtration centrale entière sur $G$. Montrer que l’algèbre de Lie $\mathrm{gr}(G)$ est engendrée par $\mathrm{gr}_1(G)$ si et seulement si l’on a $G_n = G_{n+1} . C^n G$ pour tout $n \geqslant 1$. Dans ce cas, montrer que $G_n = G_m . C^n G$ pour $m > n$, et en déduire que $(G_n) = (C^n G)$ s’il existe un entier $m$ tel que $G_m = \{e\}$.