Exercice 10, § 4

Soient x, y dans G et soient r, s deux entiers ≥ 1. On suppose que (x^r, y^s) = e. a) Montrer que, pour tout n ≥ 1, on a (x, y)^{(rs)n} ∈ C^{n+2}G. (On peut supposer G engendré par {x, y}; appliquer alors l’exerc. 9 b) en remarquant que (x^r, y^s) ≡ (x, y)^{rs} mod. C^3G.) b) On suppose que x^r = y^s = e ; on note t le pgcd de r et s. Montrer que (x, y)^t ∈ C^3G et en déduire que (x, y)^{tn} ∈ C^{n+2}G pour tout n ≥ 1 (même méthode).