Bài tập 10, § 4

Cho $x, y$ thuộc $G$ và cho $r, s$ là hai số nguyên $\geq 1$. Giả sử rằng $(x^r, y^s) = e$. (a) Chứng minh rằng, với mọi $n \geq 1$, $(x, y)^{(rs)^n} \in C^{n+2} G$. (Có thể giả sử rằng $G$ được sinh bởi $\{x, y\}$; khi đó áp dụng Bài tập 9 (b), nhận xét rằng $(x^r, y^s) \equiv (x, y)^{rs}$ mod. $C^3 G$.) (b) Giả sử rằng $x^r = y^s = e$; gọi $t$ là ước chung lớn nhất của $r$ và $s$. Chứng minh rằng $(x, y)^t \in C^3 G$ và suy ra rằng $(x, y)^{tn} \in C^{n+2} G$ với mọi $n \geq 1$ (cùng phương pháp).