Exercice 13, § 4

a) Soit F un groupe libre de famille basique {\bar{x}, \bar{y}} à deux éléments, soit c un entier ≥ 2 et soit m un entier ≥ 1. On pose F^c = F/C^cF, et on note x, y les images de \bar{x}, \bar{y} dans F^c. Soit F_m^c le sous-groupe de F^c engendré par {x^m, y}. Montrer qu’il existe un entier N ≥ 0 tel que z^{m^N} ∈ F_m^c pour tout z ∈ F^c (utiliser l’exerc. 11). b) Soit I^c (resp. I_m^c) le sous-groupe distingué de F^c (resp. de F_m^c) engendré par y. Montrer que, si N est choisi comme ci-dessus, et si z appartient à I^c, on a z^{m^N} ∈ I_m^c (remarquer que F^c/I^c est un groupe cyclique infini de générateur l’image de x, et en déduire que F_m^c/I_m^c → F^c/I^c est injectif, donc que I_m^c = F_m^c ∩ I^c). En particulier, on a xy^{m^N}x^{-1} ∈ I_m^c. c) Supposons G nilpotent. Soit H un sous-groupe de G, et soit L un sous-groupe distingué de H. Soit g ∈ G et soit m ≥ 1 tel que g^m ∈ H. Montrer que, si N est assez grand, on a g^{lm^N}g^{-1} ∈ L pour tout l ∈ L. (Si G est de classe < c, choisir N comme dans a) et utiliser l’homomorphisme f : F^c → G tel que f(x) = g, f(y) = l; remarquer que f(F_m^c) ⊂ H, f(I_m^c) ⊂ L, et appliquer b) ci-dessus.)