Bài tập 13, § 4

(a) Cho $F$ là một nhóm tự do với họ cơ bản $\{\bar{x}, \bar{y}\}$ gồm hai phần tử, cho $c$ là một số nguyên $\geq 2$ và cho $m$ là một số nguyên $\geq 1$. Ta viết $F^c = F/C^c F$ và ký hiệu $x, y$ là các ảnh của $\bar{x}, \bar{y}$ trong $F^c$. Cho $F_m^c$ là nhóm con của $F^c$ sinh bởi $\{x^m, y\}$. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $N \geq 0$ sao cho $z^{m^N} \in F_m^c$ với mọi $z \in F^c$ (sử dụng Bài tập 11). (b) Cho $I^c$ (tương ứng $I_m^c$) là nhóm con chuẩn tắc của $F^c$ (tương ứng $F_m^c$) sinh bởi $y$. Chứng minh rằng, nếu $N$ được chọn như trên và $z \in I^c$, thì $z^{m^N} \in I_m^c$ (chú ý rằng $F^c/I^c$ là một nhóm cyclic vô hạn với phần tử sinh là ảnh của $x$ và suy ra rằng $F_m^c/I_m^c \to F^c/I^c$ là đơn ánh và do đó $I_m^c = F_m^c \cap I^c$). Đặc biệt $xy^{m^N} x^{-1} \in I_m^c$. (c) Giả sử rằng $G$ là lũy linh. Cho $H$ là một nhóm con của $G$ và cho $L$ là một nhóm con chuẩn tắc của $H$. Cho $g \in G$ và cho $m \geq 1$ sao cho $g^m \in H$. Chứng minh rằng, nếu $N$ đủ lớn, $g l^{m^N} g^{-1} \in L$ với mọi $l \in L$. (Nếu $G$ có lớp $< c$, chọn $N$ như trong (a) và sử dụng đồng cấu $f : F^c \to G$ sao cho $f(x) = g, f(y) = l$; chú ý rằng $f(F_m^c) \subset H, f(I_m^c) \subset L$ và áp dụng (b) ở trên.)