Exercice 17, § 4

On suppose G nilpotent. Soit P un ensemble de nombres premiers, et soit $\mathfrak{V}_p(G)$ l’ensemble des sous-groupes distingués de G d’indice fini dont l’indice est un P-entier (cf. exerc. 14). Soit $\mathscr{T}_p(G)$ la topologie définie sur G par la base de filtre $\mathfrak{V}_p(G)$ (TG, III, § 1, n° 2, Exemple). a) Soit N un sous-groupe d’indice fini de G, tel que $(G : N)$ soit un P-entier, et soit N’ l’intersection des conjugués de N. Montrer que $(G : N')$ est un P-entier (utiliser le fait que le groupe $G/N'$ est produit de ses groupes de Sylow); en déduire que N est ouvert pour $\mathscr{T}_P(G)$. b) Soit H un sous-groupe d’indice fini de G. Montrer que $\mathscr{T}_P(H)$ coïncide avec la topologie induite sur H par $\mathscr{T}_P(G)$. (Même méthode.) c) Soit H un sous-groupe distingué de G tel que $G/H$ soit isomorphe à $\mathbf{Z}$, et soit x un représentant dans G d’un générateur de $G/H$. Soit $N \in \mathfrak{V}_P(H)$, et soit $N' = \bigcap_{n \in \mathbf{Z}} x^n N x^{-n}$. Montrer que $N' \in \mathfrak{V}_P(H)$, et que $x N' x^{-1} = N'$. Si $N''$ est le sous-groupe engendré par $N'$ et x, montrer que $(G : N'') = (H : N')$. En déduire que $\mathscr{T}_P(H)$ est induite par $\mathscr{T}_P(G)$. d) On suppose G de type fini. Montrer que, si H est un sous-groupe de G, il existe une suite de sous-groupes

telle que $H_i$ soit distingué dans $H_{i+1}$ pour $0 \leq i < k$, et que $H_{i+1}/H_i$ soit fini ou isomorphe à $\mathbf{Z}$. En déduire, en utilisant b) et c), que $\mathscr{T}_P(H)$ est induite par $\mathscr{T}_P(G)$.

$^1$ En fait, tout groupe nilpotent possède une P-enveloppe, cf. § 5, exerc. 6; voir aussi M. LAZARD, Annales E.N.S., t. LXXI (1954), p. 101–190, chap. II, § 3.

e) Les hypothèses étant celles de d), on note P' le complémentaire de P dans l’ensemble des nombres premiers. Montrer que l’adhérence de H pour $\mathscr{T}_P(G)$ coïncide avec le P'-saturé de H dans G (exerc. 14); en particulier, G est séparé si et seulement s’il est sans P'-torsion.