Bài tập 17, § 4

Giả sử rằng G là lũy linh. Cho P là một tập hợp các số nguyên tố và cho $\mathfrak{V}_p(G)$ là tập hợp các nhóm con chuẩn tắc của G có chỉ số hữu hạn mà chỉ số của chúng là một số nguyên P (xem Bài tập 14). Cho $\mathscr{T}_P(G)$ là tôpô được xác định trên G bởi cơ sở lọc $\mathfrak{V}_p(G)$ (Tôpô đại cương, Chương III, § 1, no. 2, Ví dụ). (a) Cho N là một nhóm con của G có chỉ số hữu hạn sao cho $(G:N)$ là một số nguyên P và cho N' là giao của các liên hợp của N. Chứng minh rằng $(G:N')$ là một số nguyên P (sử dụng sự kiện rằng nhóm G/N' là tích của các nhóm Sylow của nó); suy ra rằng N là mở đối với $\mathscr{T}_P(G)$. (b) Cho H là một nhóm con của G có chỉ số hữu hạn. Chứng minh rằng $\mathscr{T}_P(H)$ trùng với tôpô cảm sinh trên H bởi $\mathscr{T}_P(G)$. (Cùng phương pháp.) (c) Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của G sao cho G/H đẳng cấu với $\mathbf{Z}$ và cho x là một đại diện trong G của một phần tử sinh của G/H. Cho $N \in \mathfrak{V}_P(H)$ và cho $N' = \bigcap_{n \in \mathbf{Z}} x^n N x^{-1}$. Chứng minh rằng $N' \in \mathfrak{V}_P(H)$ và rằng $x N' x^{-1} = N'$. Nếu $N''$ là nhóm con sinh bởi N' và x, chứng minh rằng $(G:N'') = (H:N')$. Suy ra rằng $\mathscr{T}_P(H)$ được cảm sinh bởi $\mathscr{T}_P(G)$. (d) Giả sử rằng G là hữu hạn. Chứng minh rằng, nếu H là một nhóm con của G, tồn tại một dãy các nhóm con

sao cho $H_i$ là chuẩn tắc trong $H_{i+1}$ với $0 \leq i < k$ và $H_{i+1}/H_i$ là hữu hạn hoặc đẳng cấu với $\mathbf{Z}$. Suy ra, sử dụng (b) và (c), rằng $\mathscr{T}_P(H)$ được cảm sinh bởi $\mathscr{T}_P(G)$.

(e) Với các giả thiết của (d), gọi $P'$ là phần bù của P trong tập hợp các số nguyên tố. Chứng minh rằng bao đóng của H theo $\mathscr{T}_P(G)$ trùng với $P'$-bão hòa của H trong G (Bài tập 14); đặc biệt, G là Hausdorff khi và chỉ khi nó không có xoắn $P'$.