Exercice 18, § 4

La suite centrale ascendante ($Z_iG$) du groupe G est définie par récurrence de la manière suivante: (i) $Z_iG = \{e\}$ si $i \leqslant 0$; (ii) $Z_iG/Z_{i-1}G$ est le centre de $G/Z_{i-1}G$. On a $\{e\} = Z_0G \subset Z_1G \subset \cdots$ et $Z_1G$ est le centre de G; les $Z_iG$ sont des sous-groupes caractéristiques de G. a) Montrer que G est nilpotent de classe $\leq c$ si et seulement si $G = Z_cG$. b) Montrer que $(C^nG, Z_mG) \subset Z_{m-n}G$. c) On suppose que G est nilpotent et sans P-torsion (P étant un ensemble de nombres premiers, cf. exerc. 14). Montrer que les $Z_iG$ sont P-saturés. (Il suffit de le voir pour $Z_1G$; si n est un P-entier, et si $g \in G$ est tel que $g^n \in Z_1G$, on a $xg^n x^{-1} = g^n$ pour tout $x \in G$, d’où $xgx^{-1} = x$ d’après l’exerc. 14 c) et on en déduit bien que g appartient à $Z_1G$.)