Bài tập 18, § 4

Chuỗi trung tâm trên ($Z_iG$) của nhóm $G$ được định nghĩa quy nạp như sau: (i) $Z_iG = \{e\}$ nếu $i \leqslant 0$; (ii) $Z_iG/Z_{i-1}G$ là tâm của $G/Z_{i-1}G$. Khi đó $\{e\} = Z_0G \subset Z_1G \subset \cdots$ và $Z_1G$ là tâm của $G$; các $Z_iG$ là các nhóm con đặc trưng của $G$. (a) Chứng minh rằng $G$ là lũy linh thuộc lớp $\leq c$ khi và chỉ khi $G = Z_cG$. (b) Chứng minh rằng $(C^nG, Z_mG) \subset Z_{m-n}G$. (c) Giả sử $G$ là lũy linh và không xoắn-$P$ (trong đó $P$ là một tập hợp các số nguyên tố, xem Bài tập 14). Chứng minh rằng các $Z_iG$ là $P$-bão hòa. (Chỉ cần kiểm tra điều này đối với $Z_1G$; nếu $n$ là một số nguyên-$P$ và $g \in G$ sao cho $g^n \in Z_1G$, thì $xgx^{-1} = g^n$ với mọi $x \in G$, do đó $xgx^{-1} = g$ theo Bài tập 14 (c) và suy ra rằng $g$ thuộc $Z_1G$.)