Exercice 2, § 4

Soit $(G_\alpha)$ une filtration réelle sur un groupe $G$, et soit $v$ la fonction d’ordre correspondante. Soit $H$ un sous-groupe de $G$. a) Soit $H_\alpha = H \cap G_\alpha$. Montrer que $(H_\alpha)$ est une filtration réelle de $H$, et que la fonction d’ordre correspondante est la restriction de $v$ à $H$. On a $H_\alpha^+ = H \cap G_\alpha^+$ et $\mathrm{gr}(H)$ s’identifie à un sous-groupe gradué de $\mathrm{gr}(G)$. b) On suppose que $H$ est distingué, et que $v(G) \cap \mathbf{R}$ est une partie discrète de $\mathbf{R}$. On pose $(G/H)_\alpha = (G_\alpha H)/H$. Montrer que $((G/H)_\alpha)$ est une filtration réelle de $G/H$, et que la fonction d’ordre correspondante $v_{G/H}$ est donnée par la formule

Montrer que, pour tout $\alpha \in \mathbf{R}$, on a une suite exacte c) Les hypothèses étant celles de $b$), on suppose que $(G_\alpha)$ est une filtration centrale. Montrer qu’il en est de même des filtrations de $H$ et de $G/H$ induites par $(G_\alpha)$, et que l’algèbre de Lie $\mathrm{gr}(G/H)$ s’identifie au quotient de $\mathrm{gr}(G)$ par l’idéal $\mathrm{gr}(H)$.