Bài tập 2, § 4

Cho $(G_\alpha)$ là một lọc thực trên một nhóm G và cho $v$ là hàm cấp tương ứng. Cho H là một nhóm con của G.

(a) Cho $H_\alpha = H \cap G_\alpha$. Chứng minh rằng $(H_\alpha)$ là một lọc thực của H và rằng hàm cấp tương ứng là hạn chế của $v$ lên H. $H_\alpha^+ = H \cap G_\alpha^+$ và $gr(H)$ được đồng nhất với một nhóm con phân bậc của $gr(G)$.

(b) Giả sử rằng H là chuẩn tắc và rằng $v(G) \cap \mathbf{R}$ là một tập con rời rạc của $\mathbf{R}$. Ta viết $(G/H)_\alpha = (G_\alpha H)/H$. Chứng minh rằng $((G/H)_\alpha)$ là một lọc thực của $G/H$ và rằng hàm cấp tương ứng $v_{G/H}$ được cho bởi công thức

Chứng minh rằng, với mọi $\alpha \in \mathbf{R}$, tồn tại một dãy khớp

(c) Với các giả thiết của (b), giả sử rằng $(G_\alpha)$ là một lọc trung tâm. Chứng minh rằng các lọc trên H và $G/H$ cảm sinh bởi $(G_\alpha)$ cũng là như vậy và rằng đại số Lie $\operatorname{gr}(G/H)$ được đồng nhất với thương của $\operatorname{gr}(G)$ bởi iđêan $\operatorname{gr}(H)$.