Exercice 3, § 4

Soit $(H_\alpha)$ une filtration réelle d’un groupe $H$ et soit $v_H$ la fonction d’ordre correspondante. On suppose que $G$ opère à gauche sur $H$ et que, pour tout $g \in G$, l’application $h \mapsto g(h)$ est un automorphisme du groupe filtré $H$. a) Si $\alpha \in \mathbf{R}$, on note $G_\alpha$ l’ensemble des $g \in G$ tels que

Montrer que $(G_\alpha)$ est une filtration réelle de $G$ et que $G_\alpha = G$ si $\alpha \leq 0$. On note $v$ la fonction d’ordre correspondante. b) On suppose que la filtration $(H_\alpha)$ est centrale, et que $G_0^+ = G$. Montrer que $(G_\alpha)$ est une filtration centrale de $G$. Si $\xi \in \mathrm{gr}_\alpha(G)$ et $\eta \in \mathrm{gr}_\beta(H)$, soit $g$ (resp. $h$) un représentant de $\xi$ (resp. $\eta$) dans $G_\alpha$ (resp. $H_\beta$); montrer que l’image de $h^{-1}g(h)$ dans $\mathrm{gr}_{\alpha+\beta}(H)$ est indépendante des choix de $g$ et $h$; si on la note $D_\xi(\eta)$, montrer que $D_\xi$ se prolonge en une dérivation de degré $\alpha$ de l’algèbre de Lie $\mathrm{gr}(H)$ et que $\xi \mapsto D_\xi$ est un homomorphisme de l’algèbre de Lie $\mathrm{gr}(G)$ dans l’algèbre de Lie des dérivations de $\mathrm{gr}(H)$. Si $v_H(H) \cap \mathbf{R}$ est contenu dans un sous-groupe discret $\Gamma$ de $\mathbf{R}$, il en est de même de $v(G) \cap \mathbf{R}$, et, pour tout $\alpha \in \mathbf{R}$, l’application $\xi \mapsto D_\xi$ définie ci-dessus est injective.