Bài tập 3, § 4

Cho $(H_\alpha)$ là một lọc thực trên một nhóm $H$ và $v_H$ là hàm cấp tương ứng. Giả sử rằng $G$ tác động lên $H$ bên trái và rằng, với mọi $g \in G$, ánh xạ $h \mapsto g(h)$ là một tự đẳng cấu của nhóm được lọc $H$.

(a) Nếu $\alpha \in \mathbf{R}$, ta ký hiệu $G_\alpha$ là tập hợp các $g \in G$ sao cho

Chứng minh rằng $(G_\alpha)$ là một lọc thực của $G$ và rằng $G_\alpha = G$ nếu $\alpha \leq 0$. Gọi $v$ là hàm cấp tương ứng.

(b) Giả sử rằng lọc $(H_\alpha)$ là trung tâm và rằng $G_0^+ = G$. Chứng minh rằng $(G_\alpha)$ là một lọc trung tâm của $G$. Nếu $\xi \in \operatorname{gr}_\alpha(G)$ và $\eta \in \operatorname{gr}_\beta(H)$, gọi $g$ (tương ứng $h$) là một đại diện của $\xi$ (tương ứng $\eta$) trong $G_\alpha$ (tương ứng $H_\beta$); chứng minh rằng ảnh của $h^{-1}g(h)$ trong $\operatorname{gr}_{\alpha+\beta}(H)$ là độc lập với sự lựa chọn của $g$ và $h$; nếu ký hiệu nó là $D_\xi(\eta)$, chứng minh rằng $D_\xi$ có thể được mở rộng thành một đạo hàm của đại số Lie $\operatorname{gr}(H)$ có bậc $\alpha$ và rằng $\xi \mapsto D_\xi$ là một đồng cấu của đại số Lie $\operatorname{gr}(G)$ vào đại số Lie của các đạo hàm của $\operatorname{gr}(H)$. Nếu $v_H(H) \cap \mathbf{R}$ được chứa trong một nhóm con rời rạc $\Gamma$ của $\mathbf{R}$, thì $v(G) \cap \mathbf{R}$ cũng vậy và, với mọi $\alpha \in \mathbf{R}$, ánh xạ $\xi \mapsto D_\xi$ được định nghĩa ở trên là đơn ánh.