Exercice 5, § 4

Soit $K$ un corps commutatif et soit $L$ une extension galoisienne finie de $K$, de groupe de Galois $G$. Soit $v_L$ une valuation de $L$ à valeurs dans $\mathbf{Z}$ (AC, VI, § 3, n° 2), invariante par $G$. Si $g \in G$, on pose

Montrer que $v$ est la fonction d’ordre d’une filtration entière séparée $(G_n)$ sur $G$ telle que $G_0 = G$, et que la restriction de cette filtration à $G_1$ est centrale (appliquer l’exerc. 3, en prenant pour $H$ l’idéal de $v_L$). Montrer que $G_1$ est un $p$-groupe (resp. est réduit à l’élément neutre) si le corps résiduel de $L$ est de caractéristique $p > 0$ (resp. de caractéristique zéro); lorsque les corps $L$ et $K$ ont même corps résiduel, $G_1$ est le noyau de l’homomorphisme $\varphi$ défini dans AC, VI, § 8, exerc. 11 b).