Bài tập 5, § 4

Cho $K$ là một trường giao hoán và cho $L$ là một mở rộng Galois hữu hạn của $K$ với nhóm Galois $G$. Cho $v_L$ là một định giá của $L$ với các giá trị trong $\mathbf{Z}$ (Đại số giao hoán, Chương VI, § 3, no. 2) bất biến dưới tác động của $G$. Nếu $g \in G$, ta viết

Chứng minh rằng $v$ là hàm cấp của một lọc nguyên tách được $(G_n)$ trên $G$ sao cho $G_0 = G$ và rằng hạn chế của lọc này lên $G_1$ là trung tâm (áp dụng Bài tập 3, lấy $H$ là iđêan của $v_L$). Chứng minh rằng $G_1$ là một $p$-nhóm (tương ứng, thu gọn về phần tử đơn vị) nếu trường thặng dư của $L$ có đặc số $p > 0$ (tương ứng, có đặc số không); khi các trường $L$ và $K$ có cùng trường thặng dư, $G_1$ là hạt nhân của đồng cấu $\phi$ được xác định trong Đại số giao hoán, Chương VI, § 8, Bài tập 11 (b).