Exercice 8, § 4

Soit G = SL_2(Z), et soient x = $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, y = $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, w = $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$. a) Vérifier les formules w^4 = 1, w = xy^{-1}x, wxw^{-1} = y^{-1}. b) Si $g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ est un élément de G, on pose l(g) = |a| + |b|. Montrer que l’on a l(g) = 1 si et seulement si g est de la forme y^n w^a, avec n ∈ Z et 0 ≤ a ≤ 3. Si l(g) ≥ 2, montrer qu’il existe une puissance h de x ou de y telle que l(gh) < l(g). En déduire que G est engendré par {x, y}. c) En utilisant a) et b), montrer que G/(G, G) est engendré par l’image ξ de x, et que l’on a $\xi^{12} = e$.² En déduire que C^nG = (G, G) pour n ≥ 2 (appliquer l’exerc. 7).