Bài tập 8, § 4

Let $G = \mathbf{SL}_2(\mathbf{Z})$ và cho $x = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, w = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$.

(a) Kiểm tra các công thức $w^4 = 1, w = xy^{-1}x, wxw^{-1} = y^{-1}$.

(b) Nếu $g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ là một phần tử của $G$, ta viết $l(g) = |a| + |b|$. Chứng minh rằng $l(g) = 1$ khi và chỉ khi $g$ có dạng $y^n w^a$, trong đó $n \in \mathbf{Z}$ và $0 \leqslant a \leqslant 3$. Nếu $l(g) \geqslant 2$, chứng minh rằng tồn tại một lũy thừa $h$ của $x$ hoặc $y$ sao cho $l(gh) < l(g)$. Suy ra rằng $G$ được sinh bởi $\{x, y\}$.

(c) Sử dụng (a) và (b), chứng minh rằng $G/(G, G)$ được sinh bởi ảnh $\xi$ của $x$ và rằng $\xi^{12} = e$.‡ Suy ra rằng $C^n G = (G, G)$ với $n \geqslant 2$. (áp dụng Bài tập 7).