Exercice 10, § 5

Soit $p$ un nombre premier, et soit $G$ un groupe muni d’une filtration centrale réelle $(G_\alpha)$. On suppose que la relation $x \in G_\alpha$ entraîne $x^p \in G_{p\alpha}$, auquel cas on dit que la filtration $(G_\alpha)$ est restreinte.

EXERCICES

a) Montrer que l’algèbre de Lie gr(G) associée à (G_α) est telle que $p \cdot \mathrm{gr}(G) = 0$, donc peut être munie d’une structure d’algèbre sur $\mathbf{F}_p$.

b) Soit $\xi \in \mathrm{gr}_\alpha(G)$, et soit $x$ un représentant de $\xi$ dans $G_\alpha$. Montrer que l’image de $x^p$ dans $\mathrm{gr}_{p\alpha}(G)$ ne dépend pas du choix de $x$ (utiliser l’exerc. 9 c)). Si on note cette image $\xi^{[p]}$, démontrer que $\xi \mapsto \xi^{[p]}$ est une application linéaire de $\mathrm{gr}_\alpha(G)$ dans $\mathrm{gr}_{p\alpha}(G)$, et que $(\xi + \xi')^{[p]} = \xi^{[p]} + {\xi'}^{[p]} + \Lambda_p(\xi, \xi')$. (Même méthode.)

Montrer que, si $\xi \in \mathrm{gr}_\alpha(G)$ et $\eta \in \mathrm{gr}_\beta(G)$, on a

(Utiliser l’exerc. 9 d).)

c) Montrer qu’il existe une p-application de $\mathrm{gr}(G)$ dans elle-même (chap. I, § 1, exerc. 20) et une seule qui prolonge les applications $\xi \mapsto \xi^{[p]}$ définies sur les $\mathrm{gr}_\alpha(G)$. Munie de cette structure, $\mathrm{gr}(G)$ est une p-algèbre de Lie, dite associée à la filtration restreinte $(G_\alpha)$.