Bài tập 10, § 5

Cho $p$ là một số nguyên tố và cho G là một nhóm với một lọc trung tâm thực $(G_\alpha)$. Giả sử rằng quan hệ $x \in G_\alpha$ kéo theo $x^p \in G_{p\alpha}$, trong trường hợp đó lọc $(G_\alpha)$ được gọi là hạn chế. (a) Chứng minh rằng đại số Lie $\mathrm{gr}(G)$ liên kết với $(G_\alpha)$ có tính chất $p \cdot \mathrm{gr}(G) = 0$ và do đó có thể được trang bị một cấu trúc đại số trên $\mathbf{F}_p$. (b) Cho $\xi \in \mathrm{gr}_\alpha(G)$ và cho $x$ là một đại diện của $\xi$ trong $G_\alpha$. Chứng minh rằng ảnh của $x^p$ trong $\mathrm{gr}_{p\alpha}(G)$ không phụ thuộc vào lựa chọn $x$ (sử dụng Bài tập 9 (c)). Nếu ảnh này được ký hiệu là $\xi^{[p]}$, chứng minh rằng $\xi \mapsto \xi^{[p]}$ là một ánh xạ tuyến tính của $\mathrm{gr}_\alpha(G)$ vào $\mathrm{gr}_{p\alpha}(G)$ và rằng $(\xi + \xi')^{[p]} = \xi^{[p]} + {\xi'}^{[p]} + \Delta_p(\xi, \xi')$. (Cùng phương pháp.)

Chứng minh rằng, nếu $\xi \in \mathrm{gr}_\alpha(G)$ và $\eta \in \mathrm{gr}_\beta(G)$, thì

(Sử dụng Bài tập 9 (d).)

(c) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một ánh xạ-$p$ của $\mathrm{gr}(G)$ vào chính nó (Chương I, § 1, Bài tập 20) mở rộng các ánh xạ $\xi \mapsto \xi^{[p]}$ được xác định trên các $\mathrm{gr}_\alpha(G)$. Với cấu trúc này, $\mathrm{gr}(G)$ là một đại số Lie $p$, được gọi là liên kết với lọc hạn chế $(G_\alpha)$.