Exercice 12, § 5

Soit $g$ une algèbre de Lie sur un corps $k$ de caractéristique $p > 0$.

a) Soit $h$ un entier $\leq p - 1$. On dit que $g$ vérifie la h-ième condition d’Engel si l’on a $(\mathrm{ad}\ x)^h(y) = 0$ pour tout couple $(x, y)$ d’éléments de $g$. Montrer que cela équivaut à

pour $x_1, \ldots, x_h$ dans $g$ (appliquer la formule $(\mathrm{ad}\ x)^h = 0$ aux combinaisons linéaires des $x_i$).

b) Soient $x, y$ dans $g$ tels que $\Lambda_p(ax, by) = 0$ quels que soient $a, b$ dans $k$. Montrer que, si $\Lambda_p^{r,s}$ est la composante bihomogène de $\Lambda_p$ de bidegré $(r, s)$, on a $\Lambda_p^{r,s}(x, y) = 0$ pour tout couple $(r, s)$. En déduire (en prenant $r = p - 1, s = 1$) que $(\mathrm{ad}\ x)^{p-1}(y) = 0$. En particulier, si $\Lambda_p(x, y) = 0$ pour $x, y$ dans $g$, l’algèbre de Lie $g$ vérifie la $(p-1)$-ième condition d’Engel.

c) Soit $c$ le centre de $g$. On suppose que $(\mathrm{ad}\ x)^p = 0$ pour tout $x \in g$. Montrer que $g/c$ vérifie la $(p-1)$-ième condition d’Engel. (Montrer que $\Lambda_p(\mathrm{ad}\ x, \mathrm{ad}\ y) = 0$ pour $x, y$ dans $g$, et appliquer b) à l’algèbre de Lie $\mathrm{ad}\ g = g/c$.)

d) Soit G un groupe tel que $x^p = 1$ pour tout $x \in G$, et soit $(G_\alpha)$ une filtration centrale réelle de G. La filtration $(G_\alpha)$ est restreinte (exerc. 10), et gr(G) est une $p$-algèbre de Lie dont la $p$-application est nulle. En déduire que gr(G) vérifie la $(p - 1)$-ième condition d’Engel.\footnote{Pour les propriétés des algèbres de Lie vérifiant une condition d’Engel, et leurs applications au « problème restreint de Burnside », voir A. KOSTRIKIN, Izv. Akad. Nauk SSSR, t. XXIII (1959), p. 3–34.}