Bài tập 12, § 5

Cho $g$ là một đại số Lie trên một trường $k$ có đặc số $p > 0$. (a) Cho $h$ là một số nguyên $\leq p - 1$. Ta nói rằng $g$ thỏa mãn điều kiện bậc h của Engel nếu $(\mathrm{ad}\ x)^h(y) = 0$ với mọi cặp có thứ tự $(x, y)$ của các phần tử của $g$. Chứng minh rằng điều này tương đương với

với $x_1, \ldots, x_h$ trong $g$ (áp dụng công thức $(\mathrm{ad}\ x)^h = 0$ cho các tổ hợp tuyến tính của các $x_i$).

(b) Cho $x, y$ là các phần tử của $g$ sao cho $\Lambda_p(ax, by) = 0$ với mọi $a, b$ trong $k$. Chứng minh rằng, nếu $\Lambda_p^{r,s}$ là thành phần song thuần nhất của $\Lambda_p$ có bậc song $(r, s)$, thì $\Lambda_p^{r,s}(x, y) = 0$ với mọi cặp có thứ tự $(r, s)$. Suy ra (lấy $r = p - 1, s = 1$) rằng $(\mathrm{ad}\, x)^{p-1}(y) = 0$. Đặc biệt, nếu $\Lambda_p(x, y) = 0$ với $x, y$ trong $g$, thì đại số Lie $g$ thỏa mãn điều kiện bậc $(p-1)$ của Engel.

(c) Cho $c$ là tâm của $g$. Giả sử rằng $(\mathrm{ad}\, x)^p = 0$ với mọi $x \in g$. Chứng minh rằng $g/c$ thỏa mãn điều kiện bậc $(p-1)$ của Engel. (Chứng minh rằng $\Lambda_p(\mathrm{ad}\, x, \mathrm{ad}\, y) = 0$ với $x, y$ trong $g$ và áp dụng (b) cho đại số Lie $\mathrm{ad}\, g = g/c$.)

(d) Cho $G$ là một nhóm sao cho $x^p = 1$ với mọi $x \in G$ và cho $(G_\alpha)$ là một lọc trung tâm thực của $G$. Lọc $(G_\alpha)$ là hạn chế (Bài tập 10) và $\mathrm{gr}(G)$ là một đại số Lie $p$ có ánh xạ $p$ bằng không. Suy ra rằng $\mathrm{gr}(G)$ thỏa mãn điều kiện bậc $(p-1)$ của Engel.\footnote{Về các tính chất của các đại số Lie thỏa mãn một điều kiện Engel và các ứng dụng của chúng vào “bài toán Burnside hạn chế”, xem A. Kostrikin, Izv. Akad. Nauk SSSR, 23 (1959), pp. 3–34.}