Exercice 4, § 5

Pour tout $n \in \mathbf{N}$, on note $\binom{T}{n}$ le polynôme $T(T-1)\ldots(T-n+1)/n!$. Si $f(T)$ est un polynôme, on note $\Delta f$ le polynôme $f(T+1)-f(T)$. On a $\Delta \binom{T}{0} = \Delta 1 = 0$ et $\Delta \binom{T}{n} = \binom{T}{n-1}$ si $n \geqslant 1$.

a) Soit $f \in \mathbf{Q}[T]$. Montrer l’équivalence des propriétés suivantes: (i) $f$ applique $\mathbf{Z}$ dans lui-même. (ii) $f$ est combinaison linéaire à coefficients dans $\mathbf{Z}$ des $\binom{T}{n}$. (iii) $f(0) \in \mathbf{Z}$ et $\Delta f$ applique $\mathbf{Z}$ dans lui-même. (Raisonner par récurrence sur $\deg(f)$, en remarquant que $\deg(\Delta f) = \deg(f) - 1$ si $\deg(f) \neq 0$.) Un polynôme $f$ vérifiant les propriétés ci-dessus est dit binomial. La somme, le produit, le composé de deux polynômes binomiaux est un polynôme binomial. b) Soit $p$ un nombre premier et soit $f$ un polynôme binomial. Montrer que $f$ applique l’anneau $\mathbf{Z}_p$ des entiers $p$-adiques dans lui-même (utiliser la continuité de $f$ et le fait que $\mathbf{Z}$ est dense dans $\mathbf{Z}_p$). c) Soit $P$ un ensemble de nombres premiers, soit $S_P$ l’ensemble des $P$-entiers (§ 4, exerc. 14) et soit $\mathbf{Z}_P = S_P^{-1}\mathbf{Z}$. Montrer que, si $f$ est un polynôme binomial, $f$ applique $\mathbf{Z}_P$ dans lui-même (appliquer $b$) aux nombres premiers $p$ n’appartenant pas à $P$.