Bài tập 4, § 5

Với mọi $n \in \mathbf{N}$, ký hiệu $\binom{T}{n}$ là đa thức

† Để biết thêm chi tiết về bài tập này, xem K. W. Gruenberg, Lecture Notes in Math., no. 143, Chương 3, và R. Swan, J. of Algebra, 12 (1969), pp. 585–601.

Nếu $f(T)$ là một đa thức, ký hiệu $\Delta f$ là đa thức $f(T + 1) - f(T)$. Khi đó $\Delta \binom{T}{0} = \Delta 1 = 0$ và $\Delta \binom{T}{n} = \binom{T}{n-1}$ nếu $n \geq 1$.

(a) Cho $f \in \mathbf{Q}[T]$. Hãy chứng minh sự tương đương của các tính chất sau: (i) $f$ ánh xạ $\mathbf{Z}$ vào chính nó. (ii) $f$ là một tổ hợp tuyến tính với các hệ số trong $\mathbf{Z}$ của các $\binom{T}{n}$. (iii) $f(0) \in \mathbf{Z}$ và $\Delta f$ ánh xạ $\mathbf{Z}$ vào chính nó. (Lập luận bằng quy nạp theo $\deg(f)$, chú ý rằng $\deg(\Delta f) = \deg(f) - 1$ nếu $\deg(f) \neq 0$.) Một đa thức $f$ thỏa mãn các tính chất trên được gọi là nhị thức. Tổng, tích và hợp thành của hai đa thức nhị thức là một đa thức nhị thức.

(b) Cho $p$ là một số nguyên tố và cho $f$ là một đa thức nhị thức. Hãy chứng minh rằng $f$ ánh xạ vành $\mathbf{Z}_p$ của các số nguyên $p$-adic vào chính nó (sử dụng tính liên tục của $f$ và sự kiện rằng $\mathbf{Z}$ là trù mật trong $\mathbf{Z}_p$).

(c) Cho $P$ là một tập hợp các số nguyên tố, cho $S_P$ là tập hợp các số nguyên $P$ (§ 4, Bài tập 14) và cho $\mathbf{Z}_P = S_P^{-1}\mathbf{Z}$. Hãy chứng minh rằng nếu $f$ là một đa thức nhị thức, thì $f$ ánh xạ $\mathbf{Z}_P$ vào chính nó (áp dụng (b) cho các số nguyên tố $p$ không thuộc $P$).