Exercice 1, § 7

Soit $g$ une algèbre de Lie normée complète sur $K$ telle que $\| [x, y] \| \leq \| x \| \| y \|$ pour $x, y$ dans $g$. On note $\Theta$ l’ensemble des $x \in g$ tels que $\| x \| < \frac{1}{3} \log \frac{3}{2}$. Pour $x, y$ dans $\Theta$, on a $h(x, y) \in \Theta$, cf. n° 2. a) On pose $f(T) = (1 - e^{-T})/T$ et $g(T) = 1/f(T)$. La série $f$ converge dans tout le plan complexe, et la série $g$ dans le disque ouvert de rayon $2\pi$ (cf. FVR, VI, § 2, n° 3). En déduire que, si $z \in \Theta, f(\mathrm{ad}\,z)$ et $g(\mathrm{ad}\,z)$ sont définis, et que ce sont des éléments de $\mathscr{L}(g; g)$ inverses l’un de l’autre. b) Soit $D_2 h(x, y)$ la seconde dérivée partielle de $h$ en un point $(x, y)$ de $\Theta \times \Theta$ (VAR, R, 1.6.2). C’est un élément de $\mathscr{L}(g; g)$. Montrer que l’on

(Utiliser l’exerc. 3 e) du § 6 pour démontrer cette formule lorsque $x$ et $y$ sont assez voisins de zéro, et passer de là au cas général par prolongement analytique.) Montrer que la formule est valable en tout point du domaine de convergence strict de la série formelle $\tilde{H}$ (cf. prop. 1).