Bài tập 1, § 7

Cho $g$ là một đại số Lie đầy đủ định chuẩn trên $K$ sao cho

với $x, y$ thuộc $g$. Gọi $\Theta$ là tập hợp các $x \in g$ sao cho $\|x\| < \frac{1}{3} \log \frac{3}{2}$. Với $x, y$ thuộc $\Theta$, ta có $h(x, y) \in \Theta$, xem no. 2.

(a) Ta viết $f(T) = (1 - e^{-T})/T$ và $g(T) = 1/f(T)$. Chuỗi $f$ hội tụ trên toàn bộ mặt phẳng phức và chuỗi $g$ hội tụ trên đĩa mở bán kính $2\pi$ (xem Functions of a Real Variable, Chương VI, § 2, no. 3). Suy ra rằng, nếu $z \in \Theta$, thì $f(\mathrm{ad}\, z)$ và $g(\mathrm{ad}\, z)$ được xác định, là các phần tử của $\mathscr{L}(g; g)$ và là nghịch đảo của nhau.

(b) Gọi $D_2 h(x, y)$ là đạo hàm riêng thứ hai của $h$ tại một điểm $(x, y)$ của $\Theta \times \Theta$ (Differentiable and Analytic Manifolds, R, 1.6.2). Nó là một phần tử của $\mathscr{L}(g; g)$. Chứng minh rằng

(Hãy dùng Bài tập 3 (e) của § 6 để chứng minh công thức này khi $x$ và $y$ đủ gần không, rồi chuyển từ đó sang trường hợp tổng quát bằng phép tiếp tục giải tích.)

Chứng minh rằng công thức

đúng tại mọi điểm của miền hội tụ tuyệt đối của chuỗi lũy thừa hình thức $\tilde{H}$ (xem Mệnh đề 1).