Exercice 4, § 8

Soit $c$ un entier $\geq 1$, et soit P un ensemble de nombres premiers contenant tous les nombres premiers $\leq c$. Soit $\mathbf{Z}_P = S_P^{-1}\mathbf{Z}$ (§ 4, exerc. 16). Montrer que les termes de degré $\leq c$ de la série de Hausdorff $H(U, V)$ appartiennent à $L_{\mathbf{Z}_P}(\{U, V\})$. En déduire que, si $g$ est une $\mathbf{Z}_P$-algèbre de Lie nilpotente de classe $\leq c$, la loi de composition $(u, v) \mapsto H(u, v)$ fait de $g$ un groupe nilpotent P-divisible et sans P-torsion de classe $\leq c$. Montrer qu’inversement tout groupe possédant ces propriétés peut être obtenu par ce procédé. (Utiliser « l’inversion de la formule de Hausdorff », cf. § 6, exerc. 4, et montrer que les exposants $\alpha(m), \beta(m)$ qui y figurent appartiennent à $\mathbf{Z}_P$ lorsque $l(m) \leq c$.) En particulier, tout $p$-groupe d’ordre $p^n$ et de classe $< p$ s’obtient au moyen de la loi de Hausdorff à partir d’une $\mathbf{Z}$-algèbre de Lie nilpotente de classe $< p$ ayant $p^n$ éléments. (Prendre pour P l’ensemble des nombres premiers distincts de $p$.)