Bài tập 4, § 8

Cho $c$ là một số nguyên $\geq 1$ và cho $P$ là một tập hợp các số nguyên tố chứa tất cả các số nguyên tố $\leq c$. Cho $\mathbf{Z}_P = S_P^{-1}\mathbf{Z}$ (§ 4, Bài tập 16). Chứng minh rằng các số hạng có bậc $\leq c$ trong chuỗi Hausdorff $H(U, V)$ thuộc về $L_{\mathbf{Z}_P}(\{U, V\})$. Suy ra

† Để biết thêm chi tiết về bài tập này, xem M. Lazard, Bull. Soc. Math. France, 91 (1963), tr. 435–451.

rằng, nếu $g$ là một đại số Lie $\mathbf{Z}_p$ lũy linh có lớp $\leq c$, luật hợp thành $(u, v) \mapsto H(u, v)$ biến $g$ thành một nhóm lũy linh P-xoắn-tự do P-chia được có lớp $\leq c$. Chứng minh rằng ngược lại mọi nhóm có các tính chất này đều có thể thu được bằng quá trình này. (Dùng "phép nghịch đảo của công thức Hausdorff", cf. § 6, Bài tập 4, và chứng minh rằng các số mũ $\alpha(m), \beta(m)$ xuất hiện ở đó thuộc về $\mathbf{Z}_p$ khi $l(m) \leq c$.)

Đặc biệt, mọi nhóm-$p$ có cấp $p^n$ và lớp $<p$ đều có thể thu được bằng luật Hausdorff từ một đại số Lie $\mathbf{Z}$ lũy linh có lớp $<p$ với $p^n$ phần tử. (Lấy $P$ là tập hợp các số nguyên tố phân biệt với $p$.)