Exercice 4, § 3

a) Soit $q$ une forme quadratique de signature $(1, 2)$ dans $\mathbf{R}^3$. Soit $P$ l’ensemble des $m \in \mathbf{R}^3$ tels que $q(m) > 0$. Alors $P$ est réunion de deux cônes convexes disjoints $C$ et $-C$. Si $s \in \mathbf{SO}(q)$, on a, ou bien $s(C) = C$ et $s(-C) = -C$, ou bien $s(C) = -C$ et $s(-C) = C$. Soit $\mathbf{SO}^+(q)$ l’ensemble des $s \in \mathbf{SO}(q)$ tels que $s(C) = C$. Alors $\mathbf{SO}^+(q)$ est un sous-groupe distingué ouvert de $\mathbf{SO}(q)$, d’indice 2 dans $\mathbf{SO}(q)$.

b) En imitant la méthode de l’exerc. 3), définir un morphisme de $\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$ sur $\mathbf{SO}^+(q)$, de noyau $\{I, -I\}$. En déduire que le groupe de Lie réel $\mathbf{SO}^+(q)$ est isomorphe au groupe de Lie réel $\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})/\{I, -I\}$.

c) Pour $(\xi, \eta) \in \mathbf{C}^2$ et $(\xi', \eta') \in \mathbf{C}^2$, posons $f((\xi, \eta), (\xi', \eta')) = \xi \overline{\xi'} - \eta \overline{\eta}'$. Montrer que l’automorphisme intérieur de $\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$ défini par $\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -i \\ -i & 1 \end{pmatrix}$ transforme $\mathbf{SU}(f)$ en $\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$.