Bài tập 4, § 3

(a) Cho q là một dạng toàn phương có chữ ký (1, 2) trên $\mathbf{R}^3$. Cho P là tập hợp các $m \in \mathbf{R}^3$ sao cho $q(m) > 0$. Khi đó P là hợp của hai nón lồi rời nhau C và $-C$. Nếu $s \in \mathbf{SO}(q)$, thì hoặc là $s(C) = C$ và $s(-C) = -C$ hoặc là $s(C) = -C$ và $s(-C) = C$. Cho $\mathbf{SO}^+(q)$ là tập hợp các $s \in \mathbf{SO}(q)$ sao cho $s(C) = C$. Khi đó $\mathbf{SO}^+(q)$ là một nhóm con chuẩn mở của $\mathbf{SO}(q)$ có chỉ số 2 trong $\mathbf{SO}(q)$. (b) Bằng cách bắt chước phương pháp của Bài tập 3, định nghĩa một cấu xạ từ $\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$ lên $\mathbf{SO}^+(q)$ có hạt nhân $\{I, -I\}$. Suy ra rằng nhóm Lie thực $\mathbf{SO}^+(q)$ là đẳng cấu với nhóm Lie thực $\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})/\{I, -I\}$.

(c) Với $(\xi, \eta) \in \mathbf{C}^2$ và $(\xi', \eta') \in \mathbf{C}^2$, cho $f((\xi, \eta), (\xi', \eta')) = \xi \overline{\xi'} - \eta \overline{\eta'}$. Chứng minh rằng tự đẳng cấu trong của $\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$ được xác định bởi $\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -i \\ -i & 1 \end{pmatrix}$ biến $\mathbf{SU}(f)$ thành $\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$.