Exercice 5, § 3

Soit $E$ l’espace vectoriel réel des matrices complexes hermitiennes à 2 lignes et 2 colonnes, de trace nulle. Pour tout $s \in \mathbf{SU}(2, \mathbf{C})$, on définit un automorphisme $\rho(s)$ de $E$ par ρ(s)(m) = sms*. On identifie l’élément $\begin{pmatrix} x & y + iz \\ y - iz & -x \end{pmatrix}$ de E à l’élément (x, y, z) de $\mathbf{R}^3$.

En imitant la méthode de l’exerc. 3, montrer que ρ est un morphisme du groupe de Lie réel SU(2, C) sur le groupe de Lie réel SO(3, R), de noyau {I, −I}, et que SO(3, R) est isomorphe à SU(2, C)/{I, −I}.