Bài tập 5, § 3

Cho E là không gian vectơ thực của các ma trận phức Hermit có 2 hàng và 2 cột với vết bằng không. Với mọi $s \in \mathbf{SU}(2, \mathbf{C})$, ta định nghĩa một tự đẳng cấu $\varphi(s)$ của E bởi $\varphi(s)(m) = sms^*$. Ta đồng nhất phần tử

của E với phần tử $(x, y, z)$ của $\mathbf{R}^3$. Bằng cách bắt chước phương pháp của Bài tập 3, hãy chứng minh rằng $\varphi$ là một cấu xạ của nhóm Lie thực $\mathbf{SU}(2, \mathbf{C})$ lên nhóm Lie thực $\mathbf{SO}(3, \mathbf{R})$ với hạt nhân $\{I, -I\}$ và rằng $\mathbf{SO}(3, \mathbf{R})$ đẳng cấu với $\mathbf{SU}(2, \mathbf{C})/\{I, -I\}$