Exercice 7, § 3

a) Soit G l’ensemble des quaternions de norme 1. C’est un sous-groupe de Lie du groupe de Lie réel H*, homéomorphe à S₃, donc simplement connexe, cf. TG, XI. b) Soit E l’espace vectoriel réel des quaternions purs, identifié à $\mathbf{R}^3$ par

Pour tout g ∈ G, on définit un automorphisme ρ(g) de E par $\rho(g)q = gqg^{-1}$. Montrer que ρ est un morphisme du groupe de Lie G sur le groupe de Lie réel SO(3, R), de noyau {1, −1}. En déduire que le groupe de Lie SO(3, R) est isomorphe au groupe de Lie G/{1, −1}. c) Identifions C au sous-corps $\mathbf{R} + \mathbf{R}i$ de H. L’application ($\lambda, q$) ↦ $q\lambda$ de C × H dans H fait de H un espace vectoriel sur C, qu’on identifie à $\mathbf{C}^2$ par le choix de la base (1, j). Pour tout g ∈ G, soit σ(g) l’automorphisme de cet espace vectoriel défini par $\sigma(g)q = gq$. Montrer que σ est un isomorphisme du groupe de Lie réel G sur le groupe de Lie réel SU(2, C). Ce dernier est donc simplement connexe d’après a). d) Pour ($q_1, q_2$) ∈ G × G, soit τ($q_1, q_2$) l’application $q \mapsto q_1qq_2$ de H = $\mathbf{R}^4$ dans lui-même. Montrer que τ est un morphisme du groupe de Lie réel G × G sur le groupe de Lie réel SO(4, R), de noyau N = {(1, 1), (−1, −1)}, donc que SO(4, R) est isomorphe à (G × G)/N.