Bài tập 7, § 3

(a) Cho $G$ là tập hợp các quaternion có chuẩn bằng 1. Đây là một nhóm con Lie của nhóm Lie thực $\mathbf{H}^*$, đồng phôi với $\mathbf{S}_3$ và do đó đơn liên, xem Tôpô đại cương, Chương XI.

(b) Cho E là không gian vectơ thực của các quaternion thuần, được đồng nhất với $\mathbf{R}^3$ bởi

Với mọi $g \in G$, ta định nghĩa một tự đẳng cấu $\varphi(g)$ của E bởi $\varphi(g)q = gqg^{-1}$. Chứng minh rằng $\varphi$ là một cấu xạ của nhóm Lie G lên nhóm Lie thực $\mathbf{SO}(3, \mathbf{R})$ có hạt nhân $\{1, -1\}$. Suy ra rằng nhóm Lie $\mathbf{SO}(3, \mathbf{R})$ đẳng cấu với nhóm Lie $G/\{1, -1\}$.

(c) Cho $\mathbf{C}$ được đồng nhất với trường con $\mathbf{R} + \mathbf{R}i$ của $\mathbf{H}$. Ánh xạ $(\lambda, q) \mapsto q\lambda$ từ $\mathbf{C} \times \mathbf{H}$ vào $\mathbf{H}$ làm cho $\mathbf{H}$ thành một không gian vectơ trên $\mathbf{C}$ được đồng nhất với $\mathbf{C}^2$ bởi lựa chọn cơ sở $(1, j)$. Với mọi $g \in G$, gọi $\sigma(g)$ là tự đẳng cấu của không gian vectơ này được xác định bởi $\sigma(g)q = gq$. Chứng minh rằng $\sigma$ là một đẳng cấu của nhóm Lie thực $G$ lên nhóm Lie thực $\mathbf{SU}(2, \mathbf{C})$. Nhóm sau do đó đơn liên theo (a).

(d) Với $(q_1, q_2) \in G \times G$, gọi $\tau(q_1, q_2)$ là ánh xạ $q \mapsto q_1qq_2$ từ $\mathbf{H} = \mathbf{R}^4$ vào chính nó. Chứng minh rằng $\tau$ là một cấu xạ của nhóm Lie thực $G \times G$ lên nhóm Lie thực $\mathbf{SO}(4, \mathbf{R})$ có hạt nhân $N = \{(1, 1), (-1, -1)\}$ và do đó rằng $\mathbf{SO}(4, \mathbf{R})$ đẳng cấu với $(G \times G)/N$.