Exercice 11, § 4

a) Pour x, y dans $S_{2n-1} \subset \mathbf{C}^n$, on définit $\alpha(x, y) \in [0, \pi]$ par $\cos \alpha(x, y) = \Re((x|y))$. Pour s, t dans $\mathbf{U}(n)$, on pose $d(s, t) = \sup_{x \in S_{2n-1}} \alpha(sx, tx)$. Montrer que d est une distance sur $\mathbf{U}(n)$ invariante à gauche et à droite.

b) Soit $s \in \mathbf{U}(n)$. Soient $\theta_1, \ldots, \theta_m$ les nombres de $]-\pi, \pi]$ tels que les $e^{i\theta_j}$ soient les valeurs propres distinctes de s. Posons $\theta(s) = \sup_{1 \leq j \leq m} |\theta_j|$. Alors $d(e, s) = \theta(s)$. (Soit $V_j$ le sous-espace propre de s correspondant à $e^{i\theta_j}$. Pour $x \in S_{2n-1}$, minorer $\Re((x|sx))$ en décomposant suivant les $V_j$.)

c) Soient s, t dans $\mathbf{U}(n)$ tels que $\theta(t) < \frac{\pi}{2}$ et que s commute à (s, t). Alors s et t commutent.

(Avec les notations de b), soient $V_j'$ le supplémentaire orthogonal de $V_j$ et $W_j = t(V_j)$; montrer que $W_j = (W_j \cap V_j) + (W_j \cap V_j')$, puis que $W_j \cap V_j' = \{0\}$.)

d) Montrer qu’il existe un voisinage compact V de e dans $\mathbf{U}(n)$ qui a la propriété de l’exerc. 10, qui est stable par les automorphismes intérieurs de $\mathbf{U}(n)$, et qui est tel que si x, y sont des éléments non permutables de V, x et (x, y) sont non permutables. (Utiliser c).)

e) Soit $\beta$ la mesure de Haar normalisée de $\mathbf{U}(n)$. Soit $V_1$ un voisinage compact symétrique de e dans $\mathbf{U}(n)$ tel que $V_1^2 \subset V$. Soit $p$ un entier tel que $\beta(V_1) > 1/p$. Montrer que, pour tout sous-groupe fini F de $\mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$, il existe un sous-groupe distingué commutatif A de F tel que Card(F/A) $\leq p$ (théorème de Jordan). (Se ramener au cas où F $\subset \mathbf{U}(n)$. Prendre pour A le sous-groupe de F engendré par F $\cap$ V et utiliser d).)