Bài tập 11, § 4

(a) Với x, y thuộc $S_{2n-1} \subset \mathbf{C}^n$, định nghĩa $\alpha(x, y) \in [0, \pi]$ bởi $\cos \alpha(x, y) = \Re((x|y))$. Với s, t thuộc $\mathbf{U}(n)$, đặt $d(s, t) = \sup_{x \in S_{2n-1}} \alpha(sx, tx)$. Chứng minh rằng d là một khoảng cách trên $\mathbf{U}(n)$ bất biến bên trái và bên phải.

(b) Cho $s \in \mathbf{U}(n)$. Cho $\theta_1, \ldots, \theta_m$ là các số thuộc $]-\pi, \pi]$ sao cho các $e^{i\theta_j}$ là các trị riêng phân biệt của s. Đặt $\theta(s) = \sup_{1 \leq j \leq m} |\theta_j|$. Khi đó $d(e, s) = \theta(s)$. (Gọi $V_j$ là không gian con thực sự của s tương ứng với $e^{i\theta_j}$. Với $x \in S_{2n-1}$, chặn dưới $\Re((x|sx))$ bằng cách phân tích theo các $V_j$.)

(c) Cho s, t thuộc $\mathbf{U}(n)$ sao cho $\theta(t) < \frac{\pi}{2}$ và sao cho s giao hoán với (s, t). Khi đó s và t giao hoán.

(Với các ký hiệu của b), gọi $V_j'$ là phần bù trực giao của $V_j$ và $W_j = t(V_j)$; chứng minh rằng $W_j = (W_j \cap V_j) + (W_j \cap V_j')$, rồi chứng minh rằng $W_j \cap V_j' = {0}$.)

(d) Chứng minh rằng tồn tại một lân cận compact V của e trong $\mathbf{U}(n)$ có tính chất của exerc. 10, ổn định dưới các tự đẳng cấu nội của $\mathbf{U}(n)$, và sao cho nếu x, y là các phần tử không hoán vị được của V, thì x và (x, y) là không hoán vị được. (Dùng c).)

(e) Cho $\beta$ là độ đo Haar chuẩn hóa của $\mathbf{U}(n)$. Cho $V_1$ là một lân cận compact đối xứng của e trong $\mathbf{U}(n)$ sao cho $V_1^2 \subset V$. Cho $p$ là một số nguyên sao cho $\beta(V_1) > 1/p$. Chứng minh rằng, với mọi nhóm con hữu hạn F của $\mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$, tồn tại một nhóm con giao hoán chuẩn tắc A của F sao cho Card(F/A) $\leq p$ (định lý Jordan). (Rút gọn về trường hợp F $\subset \mathbf{U}(n)$. Lấy A là nhóm con của F sinh bởi F $\cap$ V và dùng d).)