Exercice 2, § 4

Soient $G$ et $H$ deux groupes de Lie, $f$ un morphisme de groupes de Lie de $G$ dans $H$. (i) Le noyau $N$ de $f$ est un quasi-sous-groupe de Lie distingué de $G$, et $L(N) = Ker\ L(f)$. (Utiliser des applications exponentielles de $G$ et $H$.) (ii) Soit $g : G/N \to f(G)$ l’application déduite de $f$ par passage au quotient. Si $f$ et $L(f)$ ont des images fermées, et si la topologie de $G$ admet une base dénombrable, alors $f(G)$ est un quasi-sous-groupe de Lie de $H$, d’algèbre de Lie $Im\ L(f)$, et $g$ un isomorphisme de groupes de Lie, $G/N$ étant muni de la structure définie dans l’exerc. 1. (Se ramener grâce à (i) au cas où $N = \{e\}$.)