Exercice 3, § 4

Soient $G$ un groupe de Lie, $U$ un voisinage ouvert de $0$ dans $L(G)$, $\varphi$ une application analytique de $U$ dans $G$ telle que $\varphi(0) = e$ et $T_0\varphi = Id_{L(G)}$. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) $\varphi$ est une application exponentielle ; b) Il existe un $m \in \mathbf{Z}$ distinct de $0, 1, -1$, tel que $\varphi(mx) = \varphi(x)^m$ dans un voisinage de $0$. (Si la condition b) est vérifiée, montrer que $\varphi_*$ vérifie la condition (iii) du th. 4.)