Bài tập 3, § 4

Cho G là một nhóm Lie, U là một lân cận mở của 0 trong L(G) và $\phi$ là một ánh xạ giải tích của U vào G sao cho $\phi(0) = e$ và $T_0 \phi = \mathrm{Id}_{L(G)}$. Các điều kiện sau là tương đương: (a) $\phi$ là một ánh xạ mũ; (b) Tồn tại $m \in \mathbf{Z}$ phân biệt với 0, 1, -1 sao cho $\phi(mx) = \phi(x)^m$ trong một lân cận của 0. (Nếu điều kiện (b) đúng, hãy chứng minh rằng $\phi^*$ thỏa mãn điều kiện (iii) của Định lý 4.)