Exercice 4, § 4

a) Soit $K = \mathbf{R}$, ou $\mathbf{C}$, ou un corps ultramétrique à corps résiduel de caractéristique $> 0$. Soient $G$ un groupe de Lie sur $K$, $U$ un voisinage ouvert de $0$ dans $L(G)$, $\varphi : U \to G$ une application dérivable en $0$ telle que $\varphi(0) = e, T_0(\varphi) = Id_{L(G)}$, et $\varphi((\lambda + \lambda')b) = \varphi(\lambda b)\varphi(\lambda'b)$ pour $\lambda b, \lambda'b, (\lambda + \lambda')b$ dans $U$. Alors $\varphi$ coïncide dans un voisinage de $0$ avec une application exponentielle. b) Soit $k$ un corps de caractéristique $0$. Prenons pour $K$ le corps valué $k((X))$, qui est de caractéristique $0$. Soit $G$ le groupe de Lie additif $k[[X]]$. Soit $\varphi$ l’application $k$-linéaire continue de $G$ dans $G$ telle que $\varphi(X^n) = X^n + X^{2n}$ pour tout entier $n \geqslant 0$. Alors $\varphi$ vérifie les conditions de $a$), mais ne coïncide dans aucun voisinage de 0 avec une application exponentielle.