Bài tập 4, § 4

(a) Cho K = $\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$ hoặc một trường siêu mêtric có trường thặng dư đặc số > 0. Cho G là một nhóm Lie trên K, U là một lân cận mở của 0 trong L(G) và $\phi : U \to G$ là một ánh xạ khả vi tại 0 và sao cho $\phi(0) = e,\ T_0(\phi) = \mathrm{Id}_{L(G)}$ và $\phi((\lambda + \lambda')b) = \phi(\lambda b)\phi(\lambda'b)$ với $\lambda b,\ \lambda'b,\ (\lambda + \lambda')b$ thuộc $U$. Khi đó $\phi$ trùng trên một lân cận của 0 với một ánh xạ mũ.

(b) Cho $k$ là một trường có đặc số 0. Cho $K$ là trường định giá $k((X))$, trường này có đặc số 0. Cho $G$ là nhóm Lie cộng tính $k[[X]]$. Cho $\phi$ là ánh xạ $k$-tuyến tính liên tục từ $G$ vào $G$ sao cho $\phi(X^n) = X^n + X^{2n}$ với mọi số nguyên $n \geqslant 0$. Khi đó $\phi$ thỏa mãn các điều kiện của (a), nhưng không trùng trên bất kỳ lân cận nào của 0 với một ánh xạ mũ.