Exercice 6, § 4

Soient G un groupe de Lie de dimension finie, $g$ son algèbre de Lie, $g^*$ l’espace vectoriel dual de $g$, $\sigma$ la représentation adjointe de G dans $g$, $\rho$ la représentation de G dans $g^*$ définie par $\rho(g) = {}^t\sigma(g)^{-1}$ pour tout $g \in G$. a) On a $L(\rho)(x) = -{}^t(ad\ x)$ pour tout $x \in g$. b) Soit $f \in g^*$. On note $G_f$ le stabilisateur de $f$ dans G ; c’est un sous-groupe de Lie de G, et $g_f = L(G_f)$ est l’ensemble des $x \in g$ tels que ${}^t(ad\ x)f = 0$. c) Pour $x, y$ dans $g$, on pose $B_f(x, y) = f([x, y])$. Montrer que $B_f$ est une forme bilinéaire alternée sur $g$, que l’application $s_f$ de $g$ dans $g^*$ associée à gauche à $B_f$ est l’application $x \mapsto {}^t(ad\ x)f$, et que l’orthogonal de $g$ pour $B_f$ est $g_f$. On note $\beta_f$ la forme bilinéaire alternée non dégénérée sur $g/g_f$ (qui est donc de dimension paire) déduite de $B_f$ par passage au quotient. On note $\beta'_f$ la forme inverse de $B_f$ sur $(g/g_f)^*$. d) Soit $\Omega$ une orbite de G dans $g^*$; on la munit de la structure de variété déduite par transport de structure de celle de $G/G_f$, où $f$ est un point quelconque de $\Omega$. Alors G opère analytiquement à gauche dans $\Omega$. Soit D la loi d’opération infinitésimale associée. Pour tout $a \in g$ et tout $f \in \Omega$, on a $D_a(f) = -({}^tad\ a)f$. Le sous-espace tangent $T_f(\Omega)$ est l’image de $s_f$, c’est-à-dire l’orthogonal de $g_f$ dans $g^*$, et s’identifie canoniquement à $(g/g_f)^*$, de sorte que $s_f$ définit un isomorphisme canonique $r_f$ de $T_f(\Omega)$ sur son dual. Le champ $f \mapsto \beta'_f$ est une forme différentielle analytique $\omega$ de degré 2 sur $\Omega$, invariante par G. Pour $f \in \Omega,\ a \in g,\ b \in g$, on a $\omega(D_a(f), D_b(f)) = f([a, b])$. e) Montrer que $d\omega = 0$. f) Si $\alpha$ est une forme différentielle de degré 1 sur $\Omega$, les isomorphismes $r_f$ permettent d’identifier $\alpha$ à un champ de vecteurs. Soit A l’ensemble des fonctions analytiques sur $\Omega$ à valeurs dans K. Pour $\varphi, \psi$ dans A, on pose $[\varphi, \psi] = \omega(d\varphi, d\psi) \in A$. Montrer que A est ainsi muni d’une structure d’algèbre de Lie. g) Pour tout $a \in g$, soit $\psi_a$ la fonction $f \mapsto f(a)$ sur $\Omega$. Montrer que $a \mapsto \psi_a$ est un homomorphisme de $g$ dans l’algèbre de Lie A, et que la forme $d\psi_a$ s’identifie, grâce aux isomorphismes $r_f$, au champ de vecteurs $D_a$. h) Soient U une partie ouverte de $g^*$, et $\varphi$ une fonction analytique sur U. Pour tout $f \in U$, on identifie la différentielle $d_f\varphi$ de $\varphi$ en $f$ à un élément de $g$. On suppose que $X\varphi = 0$ pour tout champ de vecteurs X défini par l’action de G dans $g^*$. Montrer qu’alors, pour tout $f \in U$, $d_f\varphi$ appartient au centre de $g_f$. i) Pour tout $f \in g^*$, on pose $r_f = \dim g_f$. Soit $r = \inf_{f \in g^*} r_f$. Montrer que l’ensemble V des f \in g^* telles que r_f = r est ouvert et dense dans g^*. Montrer que, pour f \in V, g_f est commutatif. (Construire r fonctions \varphi vérifiant les conditions de h) au voisinage de f et telles que leurs différentielles en f soient linéairement indépendantes.)