Bài tập 6, § 4

Cho $G$ là một nhóm Lie hữu hạn chiều, $g$ là đại số Lie của nó, $g^*$ là không gian vectơ đối ngẫu của $g$, $\sigma$ là biểu diễn phụ hợp của $G$ trên $g$ và $\rho$ là biểu diễn của $G$ trên $g^*$ được xác định bởi $\rho(g) = {}^t \sigma(g)^{-1}$ với mọi $g \in G$.

(a) $L(\rho)(x) = -{}^t(\mathrm{ad}\ x)$ với mọi $x \in g$.

(b) Cho $f \in g^*$. Ký hiệu $G_f$ là nhóm ổn định của $f$ trong $G$; nó là một nhóm con Lie của $G$ và $g_f = L(G_f)$ là tập hợp các $x \in G$ sao cho ${}^t(\mathrm{ad}\ x)f = 0$.

(c) Với $x,\ y$ trong $g$, ta viết $B_f(x, y) = f([x, y])$. Chứng minh rằng $B_f$ là một dạng song tuyến tính phản xứng trên $g$, rằng ánh xạ $s_f$ từ $g$ vào $g^*$ liên kết trái với $B_f$ là ánh xạ $x \mapsto {}^t(\mathrm{ad}\ x)f$ và rằng trực giao của $g$ đối với $B_f$ là $g_f$. Gọi $\beta_f$ là dạng song tuyến tính phản xứng không suy biến trên $g/g_f$ (do đó có chiều chẵn) dẫn xuất từ $B_f$ khi chuyển qua thương. Ta ký hiệu $\beta_f'$ là dạng nghịch đảo của $B_f$ trên $(g/g_f)^*$.

(d) Gọi $\Omega$ là một quỹ đạo của $G$ trên $g^*$; ta trang bị cho nó cấu trúc đa tạp dẫn xuất từ cấu trúc trên $G/G_f$ bằng phép chuyển cấu trúc, trong đó $f$ là một điểm tùy ý của $\Omega$. Khi đó $G$ tác động giải tích trên $\Omega$ ở bên trái. Gọi $D$ là luật của phép toán vi phân liên kết. Với mọi $a \in g$ và mọi $f \in \Omega$,

Không gian con tiếp xúc $T_f(\Omega)$ là ảnh của $s_f$, tức là phần trực giao của $g_f$ trong $g^*$, và được đồng nhất một cách chính tắc với $(g/g_f)^*$, sao cho $s_f$ xác định một đẳng cấu chính tắc $r_f$ của $T_f(\Omega)$ lên đối ngẫu của nó. Trường $f \mapsto \beta_f'$ là một dạng vi phân giải tích $\omega$ có bậc 2 trên $\Omega$, bất biến đối với $G$. Với $f \in \Omega,\ a \in g,\ b \in g,\ \omega(D_a(f), D_b(f)) = f([a, b])$.

(e) Chứng minh rằng $d\omega = 0$.

(f) Nếu $\alpha$ là một dạng vi phân có bậc 1 trên $\Omega$, các đẳng cấu $r_f$ cho phép ta đồng nhất $\alpha$ với một trường vectơ. Cho $A$ là tập hợp các hàm giải tích trên $\Omega$ có giá trị trong $K$. Với $\phi, \psi$ trong $A$, ta viết $[\phi, \psi] = \omega(d\phi, d\psi) \in A$. Chứng minh rằng $A$ do đó có một cấu trúc đại số Lie.

(g) Với mọi $a \in g$, gọi $\psi_a$ là hàm $f \mapsto f(a)$ trên $\Omega$. Chứng minh rằng $a \mapsto \psi_a$ là một đồng cấu của $g$ vào đại số Lie $A$ và rằng dạng $d\psi_a$ được đồng nhất, nhờ các đẳng cấu $r_f$, với trường vectơ $D_a$.

(h) Cho $U$ là một tập con mở của $g^*$ và $\phi$ là một hàm giải tích trên $U$. Với mọi $f \in U$, vi phân $d_f \phi$ của $\phi$ tại $f$ được đồng nhất với một phần tử của $g$. Giả sử rằng $X\phi = 0$ với mọi trường vectơ $X$ được xác định bởi tác động của $G$ trên $g^*$. Chứng minh rằng khi đó, với mọi $f \in U$, $d_f \phi$ thuộc tâm của $g_f$.

(i) Với mọi $f \in g^*$, ta viết $r_f = \dim g_f$. Đặt $r = \inf_{f \in g^*} r_f$. Chứng minh rằng tập hợp $V$ gồm các $f \in g^*$ sao cho $r_f = r$ là mở và trù mật trong $g^*$. Chứng minh rằng, với mọi $f \in V$, $g_f$ là giao hoán. (Xây dựng $r$ hàm $\phi$ thỏa mãn các điều kiện của (h) trong một lân cận của $f$ và sao cho các vi phân của chúng tại $f$ là độc lập tuyến tính.)