Exercice 8, § 4

Soit G un groupe de Lie de dimension finie. On suppose L(G) simple. Soit A un sous-groupe distingué de G. Si A n’est pas ouvert, A est discret et son commutant dans G est ouvert. (Soit a la sous-algèbre tangente à A en e. Montrer que a = \{0\}. Soit x un élément de A n’appartenant pas au centre de G. Considérer l’application y \mapsto yxy^{-1} de G dans A. Déduire de la relation a = \{0\} que le commutant de x dans G est ouvert. Puis, en utilisant une application exponentielle, montrer que le commutant de x dans G contient un voisinage de e indépendant de x.)