Exercice 3, § 6

Soit $G_1$ le groupe de Lie réel nilpotent simplement connexe défini dans l’exerc. 5 du § 4. Soient $Z$ le centre de $G_1$, $N$ un sous-groupe discret non trivial de $Z$, et $G = G_1 / N$. Si $\rho$ est une représentation linéaire analytique de dimension finie de $G$, $\rho(Z/N)$ est un ensemble semi-simple d’automorphismes, car $Z/N$ est compact ; mais $Z = (G, G)$, donc $\rho(Z/N)$ est unipotent (chap. I, § 6, prop. 6). Par suite, $\rho$ est triviale dans $Z/N$.