Exercice 7, § 6

Soit $\varphi$ le morphisme de $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ dans le groupe des permutations de $\mathbf{C}$ qui transforme l’élément non neutre en $z \mapsto \bar{z}$. Soit G le produit semi-direct de $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ par le groupe de Lie réel $\mathbf{C}$ correspondant à $\varphi$. C’est un groupe de Lie réel d’algèbre de Lie $\mathbf{R}^2$. Montrer qu’il n’existe sur G aucune structure de groupe de Lie complexe compatible avec la structure de groupe de Lie réel.